Logique avec Python

Découvrir l’algèbre de Boole avec Python
mercredi 5 septembre 2012
par  Nathalie CARRIÉ

- Qu’est-ce qu’un booléen ?
- Expressions booléennes
- Opérateurs relationnels ou de comparaison
- Les 3 opérateurs logiques : not, or, and
- Aller plus loin en logique : implication, équivalence et ou exclusif
(avec application en cryptographie)
- Mini-projet

Qu’est-ce qu’un booléen ?

Voir la page sur Wikipédia

C’est une variable qui ne peux prendre que deux valeurs : VRAI ou FAUX.
En Python, le type d’une telle variable est bool, les deux valeurs possibles sont True ou False.

Expressions booléennes

Une expression booléenne a deux valeurs possibles : True ou False.
Python attribue à une expression booléenne la valeur False si c’est :
- la constante False
- la constante None
- une séquence ou une collection vide
- une donnée numérique de valeur 0. Tout le reste vaut True.

  1. >>> type(False)
  2. <class 'bool'>
  3. >>> type(True)
  4. <class 'bool'>
  5. >>> False
  6. False
  7. >>> bool(None)
  8. False
  9. >>> bool(' ')
  10. True
  11. >>> bool('')
  12. False
  13. >>> bool(0)
  14. False
  15. >>> bool(156.87)
  16. True

Opérateurs relationnels ou de comparaison

Ce sont les opérateurs == ,  != , > , >= , < et <=.

* Illustration pour x = 7 et y = 17

Opérateur Expression Signification Valeur
== x == y Égal 0 (faux)
 != x  != y Non égal 1 (vrai)
> x > y Plus grand que 0
 < x < y Plus petit que 1
>= x >= y Plus grand ou égal à 0
<= x <= y Plus petit ou égal à 1
is x is y est le même objet 0
is not x is not y n’est pas le même objet 1

Cela donne dans le shell de Python :

  1. >>> x=7
  2. >>> y=17
  3. >>> x==y
  4. False
  5. >>> x!=y
  6. True
  7. >>> x>y
  8. False
  9. >>> x>=y
  10. False
  11. >>> x<y
  12. True
  13. >>> x<=y
  14. True
  15. >>> x is y
  16. False
  17. >>> x is not y
  18. True


* Illustration avec deux chaînes de caractères

  1. >>>a='encyclopédie1'
  2. >>>b='encyclopédie2'
  3. >>>a==b
  4. False
  5. >>>len(a)
  6. 13
  7. >>>a[:12]==b[:12]
  8. True

Exercices Python

1/ Écrire un programme dont la sortie dans le shell de Python est la suivante :

  1. >>>Entrez un entier naturel : 45
  2. >>>Entrez un second entier naturel : 215
  3. >>>
  4. >>>    x==y a pour type <class 'bool'>
  5. >>>
  6. >>>    x==y est un booléen : il est soit vrai, soit faux
  7. >>>
  8. >>>x est différent de y donc la valeur du booléen est : False

2/ Écrire un programme qui dira si
- un nombre x appartient à l’intervalle [a, b]
- un nombre x appartient à l’intervalle ]a, b[ U [c, d]
- un nombre x appartient à l’intervalle [a, b[ ∩ ]c, d]

3/ Écrire un programme qui affiche Bon anniversaire ! si nous sommes à la date de votre anniversaire, Bonne journée sinon.

Les 3 opérateurs logiques

Voir sur Wikibooks

Les expressions avec un opérateur logique sont évaluées à True ou False.

* Le NON (négation, contraire)
p étant un booléen,
NON p = 1 - p
En Python, on appelle l’instruction not.
(NON p est noté en logique ¬p)

  1. >>> 2<1
  2. False
  3. >>> not 2<1
  4. True

Table de vérité : retrouver celle de NON p à l’aide de Python.

p NON p
VRAI FAUX
FAUX VRAI

Correction en Python :

  1. >>> P=[True,False]
  2. >>> for p in P:
  3.         print(p,not p)
  4. True False
  5. False True


* Le OU logique (disjonction)

p et q étant deux booléens,
p or q
vaut True si p vaut True. Si p est False, l’expression est évaluée à la valeur booléenne de q
(si p est faux, retourne q, sinon retourne p).
(p OU q est noté en logique p ∨ q)

  1. >>> 8<9
  2. True
  3. >>> 2<1
  4. False
  5. >>> (8 < 9) or (2 < 1)
  6. True

Retrouver à l’aide de Python la table de vérité d’une disjonction :

p q p OU q
VRAI VRAI VRAI
VRAI FAUX VRAI
FAUX VRAI VRAI
FAUX FAUX FAUX

* Le ET logique (conjonction)

p and q
vaut False si p est False. Si p est True, l’expression est évaluée à la valeur booléenne de q
(si p est faux, retourne p, sinon retourne q).
(p ET q est noté en logique p ∧ q)

  1. >>> 8<9
  2. True
  3. >>> 2<1
  4. False
  5. >>> (8 < 9) and (2 < 1)
  6. False
  7. >>> x=36
  8. >>> (x > 13) and (x < 27)
  9. False
  10. >>> x=20
  11. >>> (x > 13) and (x < 27)
  12. True

Retrouver à l’aide de Python la table de vérité d’une conjonction :

p q p ET q
VRAI VRAI VRAI
VRAI FAUX FAUX
FAUX VRAI FAUX
FAUX FAUX FAUX

Aller plus loin en logique : implication, équivalence et ou exclusif

* Implication logique

L’implication logique p ⇒ q est le booléen : NON p OU q

- Dresser à l’aide de Python la table de vérité de l’implication logique.
- Écrire une fonction implique(p,q) en Python qui retourne NON p OU q, p et q étant deux booléens.

* Équivalence logique

L’équivalence logique p ⇔ q est le booléen : (p ⇒ q) ET (q ⇒ p)

- Dresser à l’aide de Python la table de vérité de l’équivalence logique.
- Écrire une fonction equivalence(p,q) en Python qui retourne (p ⇒ q) ET (q ⇒ p), p et q étant deux booléens.


* Le OU exclusif (XOR) :
soit p, soit q, mais pas les deux à la fois.

Le OU exclusif (noté XOR ou ⊕) p XOR q est le booléen : (p OU q) ET NON (p ET q).

Retrouver à l’aide de Python la table de vérité du OU exclusif :

p q p XOR p
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Voir une application en cryptographie

Questions :
- Quel serait le message en français envoyé du futur dans le film « Le code Andromède » s’il était codé à l’aide de la clé de 7 bits K=1001110 et du OU exclusif ? [1]
- Écrire une fonction xor(p,q) en Python qui retourne soit p (sous-entendu p Vrai), soit q (sous-entendu q Vrai) mais pas les deux, p et q étant deux booléens.

Récapitulatif :
Voir sur Wikipédia l’article Fonction logique

Mini-projet

À rendre par groupe.

- Écrire un programme Python qui dresse les tables de vérité de NON p, p OU q, p ET q telles qu’elles sont affichées dans ce tableau :

NON p
p OU q
NONp pOUq
p ET q
pETq

Annexe : formatage d’une chaîne de caractères : lire Apprendre à programmer avec Python3 de Gérard Swinnen page 158 : Formatage des chaînes de caractères.

- Découverte des propriétés de l’Algèbre de Boole
p et q sont deux booléens.
Démontrer à l’aide d’un programme Python que :

  • Règles d’addition (le OU est noté +)
    p + 0 = p
    p + 1 = 1
    p + p = p
    p + NON p = 1
  • Règles de multiplication (le ET est noté . )
    p . 0 = 0
    p . 1 = p
    p . p = p
    p . NON p = 0
  • Commutativité
    p . q = q . p
  • Associativité
    p . ( q + r ) = p . q + p . r
  • Les lois de MORGAN
    p et q sont deux booléens.
    Démontrer à l’aide d’un programme Python que :
    NON (p OU q) = NON p ET NON q
    NON (p ET q) = NON p OU NON q
  • Vérifier que (p ⇒ q) et (NON q ⇒ NON p) ont même table de vérité.
  • Tautologie
    p, q, r sont trois booléens.
    Vérifier que [(p ⇒ q) ET (q ⇒ r)] ⇒ [p ⇒ r] est toujours vrai.
    C’est la base des raisonnements en chaîne en mathématiques.


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