Deux approches pour dériver valeur absolue

vendredi 28 décembre 2012
par  Marc JAMBON

En parallèle de la dérivée ponctuelle de la fonction valeur absolue, telle qu’elle figure dans le programme officiel de la classe de première, cette activité propose une approche moins classique, celle de la « dérivée globale graphique ».

1. Dérivée ponctuelle

C’est le point de vue du programme officiel, classe de première S. En respectant la conception de dérivée ponctuelle en x, on définit pour chaque x et pour chaque h ≠ 0 le taux d’accroissement :

$f_h (x) = \frac{|x + h|-|x|}{h}$.

1° Pour x < 0, x fixé, et |h| < – x, réécrire fh(x) sans utiliser | |. En déduire :
fh(x) tend vers – 1 lorsque h tend vers 0.
Ainsi, la fonction valeur absolue : $x \mapsto |x|$, restreinte à x < 0, admet – 1 comme dérivée.

2° Pour x > 0, x fixé, et |h| < x, réécrire fh(x) sans utiliser | |. En déduire :
fh(x) tend vers + 1 lorsque h tend vers 0.
Ainsi, la fonction valeur absolue : $x \mapsto |x|$, restreinte à x > 0, admet + 1 comme dérivée.

3° Pour x = 0 et h < 0, réécrire fh(x) sans utiliser | |. En déduire :
fh(0) tend vers – 1 lorsque h tend vers 0 par valeurs strictement négatives.
Pour x = 0 et h > 0, réécrire fh(x) sans utiliser | |. En déduire :
fh(0) tend vers + 1 lorsque h tend vers 0 par valeurs strictement positives.
Ainsi, on peut dire qu’on a une dérivée à gauche égale à – 1, une dérivée à droite égale à + 1, et, par voie de conséquence, absence de limite pour h tend vers 0, h ≠ 0 :
il n’y a pas de dérivée ponctuelle pour $x \mapsto |x|$ au point 0.

4° Dessiner un repère orthonormé, avec 5 cm comme unité, les axes étant représentés par un tracé extra fin. Représenter, dans ce repère, la fonction dérivée, aainsi obtenue, sur son ensemble de définition (on utilisera un
tracé en noir plus fort que celui des axes).

2. Dérivée globale graphique

Nous proposons ci-dessous une autre approche. Comme précédemment formons le taux d’accroissement, que l’on considère désormais, pour chaque h ≠ 0 fixé, comme une fonction fh de la variable x :

$f_h (x) = \frac{|x + h|-|x|}{h}$.

1° Pour h < 0, réécrire, sans utiliser | |, fh(x) en distinguant trois intervalles :

  • x ≤ 0
  • 0 ≤ x ≤ – h
  • – h ≤ x.

Pour h > 0, réécrire, sans utiliser | |, fh(x) en distinguant trois intervalles :

  • x ≤ – h
  • – h ≤ x ≤ 0.
  • 0 ≤ x.

2° Représentez graphiquement dans un nouveau repère orthonormé identique à celui de 1.4°, fh pour quelques valeurs de h de plus en plus petites en valeur absolue, par exemple :

  • h = – 0,5 et h = + 0,5
  • h = – 0,2 et h = + 0,2
  • h = – 0,1 et h = + 0,1
  • h = – 0,02 et h = + 0,02.

Utiliser, si possible, quatre couleurs différentes, autres que le noir, correspondant à chacune des lignes précédentes.
Constater que lorsque h se rapproche de 0, le graphe de fh se rapproche d’une ligne brisée (L) constituée d’un segment de droite « vertical » et deux demi-droites « horizontales ». [1]

3° On propose d’exprimer formellement ce qui précède en termes de limite.
Comment est faite la région du plan située entre le graphe de fh et (L) ? Évaluer son aire et montrer qu’elle tend vers 0 lorsque h tend vers 0.

4° (L) peut-être considérée comme la « dérivée globale graphique » [2] de $x \mapsto |x|$. Tracer cette ligne brisée en trait noir fort et remarquer quelle peut être tracée sans lever le crayon, en ce sens :
la dérivée globale graphique de $x \mapsto |x|$ est « continue ».
Comparer avec ce qu’on a obtenu en 1.4°.


[1Cette question peut avantageusement être animée en géométrie dynamique, ce devrait être assez convaincant.

[2Terminologie qui m’est propre.


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