Arithmétique et fractions égyptiennes

Vers la conjecture Erdös-Straus
mercredi 31 juillet 2013
par  André SEGUIN

L’article s’intéresse à la décomposition de 1/n en deux, puis trois fractions unitaires, puis se penche sur certains résultats récents en rapport avec la conjecture d’Erdös-Straus. Des expérimentations numériques sont réalisées avec le logiciel Xcas.

Il s’agit essentiellement de la décomposition de 1/n en somme de trois fractions unitaires non nécessairement distinctes :

1/n = 1/a + 1/b + 1/c,

a, b et c étant des entiers positifs vérifiant a ≤ b ≤ c. On parle de
décomposition ordonnée et la liste de toutes ces décompositions pour une valeur de n est elle même ordonnée.

L’arithmétique utilisée est du niveau de la classe terminale : nombre premier, nombres premiers entre eux, théorème de Gauss. On se permet juste une allusion au résultat de Dirichlet sur les suites arithmétiques et les nombres premiers qu’elles peuvent contenir.

Dans le préambule, on met en évidence une méthode qui permet une décomposition de 1/n en somme de deux, puis de trois fractions unitaires ; on établit une formule de base qui se compose d’une égalité et de conditions l’accompagnant, permettant d’élaborer un programme qui renvoie la liste ordonnée des décompositions, désignée par egyLO(n). Le logiciel utilisé est Xcas qui, en ce qui concerne le numérique, m’émerveille.

Dès la fin du préambule, on peut lire le document 1 donné en fin d’article, où l’on démontre une propriété caractéristique des nombres premiers (excepté pour 2, 5 et 7) qui met en relief les huit décompositions naturelles qui terminent la liste ordonnée. Cette propriété assez technique étant utilisée par la suite d’une façon très ponctuelle, on peut aussi en rejeter la lecture à plus tard.

On prouve ensuite de façon naturelle certains résultats récents de Mordell, Mizony, Bello-Hernández, Benito et Fernández (voir références ci-dessous). Pas de grandes avancées (dommage...), mais une introduction simple qui gravite autour d’une formule (une égalité et des conditions), laquelle se métamorphose en fonction de certaines hypothèses et donne naissance à diverses conjectures. Suit un programme permettant d’obtenir une décomposition qui vérifie la conjecture Erdös-Straus.

Références

- Michel Mizony et Marie-Line Gardes, Un point sur la conjecture d’Erdös et Straus, université Claude-Bernard, juin 2012. Disponible en ligne : http://math.univ-lyon1.fr/ mizony/SurErdos_Straus2.pdf

- Manuel Bello-Hernández, Manuel Benito, Emilio Fernández, On Egyptian fractions, arXiv:1010.2035, avril 2012. Disponible en ligne : http://arxiv.org/abs/1010.2035


Documents joints

Arithmétique et fractions égyptiennes

Commentaires

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samedi 21 septembre 2013 à 15h31 - par  Ibrahima GUEYE

Oui bel article.
Les 1 modulo 6 posent problème.
Du coup ce sont les en fait les 1 modulo 24 qui créent le plus de problèmes

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vendredi 20 septembre 2013 à 15h56 - par  Ibrahima GUEYE

Les 1 modulo 24 sont difficiles à prévoir...

vendredi 30 août 2013 à 05h09

Bravo pour l’effort. Les 1 modulo 4 posent vraiment problème