Problèmes de remplissage de seaux

lundi 11 novembre 2013
par  Alain BUSSER , Florian TOBÉ

Pour faire n litres d’eau avec un seau de contenance a litres et un seau de contenance b litres, il faut et il suffit, d’après le théorème de Bachet-Bézout, que le pgcd de a et b divise n. Cette application permet donc de découvrir

  • le théorème de Bachet de Méziriac
  • l’existence de problèmes ouverts sans solution

Voici le fichier en html :

le jeu des seaux
cliquer droit pour ouvrir dans un autre onglet

Nous espérons que les lecteurs auront autant de plaisir à tester cette application que nous, en effet on est assez vite accro...

Nouveauté : La version en 3D (nécessite que le navigateur connaisse webGL) :

le jeu en 3D
calibré pour smartphone en position « paysage »

Un exercice d’algorithmique intéressant est celui de trouver une stratégie gagnante optimale.


Bachet-Bézout

Faire litres avec un seau de litres et un seau de litres

Aréthuse est au bord d'une rivière, et Artémis l'a chargée de lui ramener exactement litres d'eau; mais elle dispose en tout et pour tout de deux seaux:

  • Un petit seau, de contenance litres (à droite).
  • Un grand seau, de contenance litres (à gauche).
Aucun des seaux ne possède de graduations.

Saurez-vous aider Aréthuse à donner litres d'eau à Artémis ?

Variante avec 3 seaux

Le fichier peut se télécharger ci-dessous (ou s’ouvrir dans un autre onglet par clic droit) :

problème à trois seaux
Avec trois seaux, il faut un tableau de commandes !

Du fait que 6, 10 et 15 sont premiers entre eux dans leur ensemble, toute contenance inférieure ou égale à 15 peut être obtenue avec les trois seaux. Mais parfois 2 seaux suffisent :

contenance (en litres) seaux nécessaires
1 Les trois
2 les deux derniers seaux puisque pgcd(10,6)=2
3 les deux seaux extrêmes puisque pgcd(15,6)=3
4 les deux derniers seaux puisque pgcd(10,6)=2
5 les deux premiers seaux puisque pgcd(15,10)=5
6 le troisième seau
7 Les trois
8 les deux derniers seaux puisque pgcd(10,6)=2
9 les deux seaux extrêmes puisque pgcd(15,6)=3
10 le second seau
11 Les trois
12 les deux seaux extrêmes puisque pgcd(15,6)=3
13 Les trois
14 les deux derniers seaux puisque pgcd(10,6)=2
15 le premier seau

C’est donc pour obtenir 1, 7, 11 ou 13 litres qu’on doit utiliser les trois seaux.


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