L’abaque de Gerbert d’Aurillac

mardi 25 février 2014
par  Alain BUSSER

Gerbert d’Aurillac aurait découvert la numération décimale lors d’un séjour en Espagne, où les arabes effectuaient leurs calculs avec des chiffres (dont le 0) bien plus pratiques que les chiffres romains. Il ne semble pas avoir découvert l’existence du zéro, à moins qu’il ait trouvé plus pratique de laisser des cases vides dans son abaque pour représenter les zéros.

Toujours est-il qu’en déplaçant un jeton (ou « apice ») représentant un 4 plutôt que 4 boules d’un boulier, l’abaque de Gerbert soutient la comparaison par rapport au boulier. Et en évitant d’avoir à gommer les nombres, il soutient aussi la comparaison par rapport aux multiplications par écrit comme la technique de la multiplication par jalousies.

Voici, pour comparaison, l’abaque romain (à jetons non marqués), en version numérique et en version matérielle :

Abaque romain virtuel
fichier html à manipuler sur ordinateur ou tablette
Abaque romain matériel
fichier pdf à imprimer en format A3 ; utiliser des graines ou des bouchons de bouteille à défaut de jetons

Avantages de la version tablette :

  • Il n’est pas possible de perdre les jetons sur la tablette, alors qu’avec le vrai abaque, les jetons en ivoire devaient être précieusement conservés.
  • Il n’est pas possible de tourner les jetons sur l’abaque virtuel, ce qui rend le chiffre porté, immédiatement reconnaissable.

Pourtant, c’est probablement en faisant tourner les chiffres arabes de 90°, que Gerbert et ses contemporains ont inventé la graphie des chiffres 1, 2, 3 etc. Ainsi, le ٣ des Arabes est devenu un 3 par rotation d’un quart de tour vers la gauche.


Voici ensuite une séquence pouvant aller progressivement de l’abaque romain (jetons sans marque) à l’abaque de Gerbert (jetons portant des chiffres) :

jetons groupés jetons arrondis avec constellations jetons ressemblant à des dés jetons avec constellations et chiffres
romain accéléré
abaque romain à groupement de jetons
jetons dessinés sur des jetons
abaque de Gerbert à constellations
Gerbert joue aux dés
constellations similaires aux faces d’un dé
constellation et chiffres
abaque de Gerbert avec constellations et chiffres

Comme il est plus facile de dessiner (et peut-être même de reconnaître) des glyphes que des constellations, on passe ensuite à l’abaque de Gerbert avec chiffres latins (ce qui n’était pas le cas de l’original, celui-ci portant en effet des chiffres arabes, moins faciles à reconnaître pour des élèves européens), et on revient aux jetons arrondis :


Une séquence pédagogique sur l’abaque de Gerbert d’Aurillac peut être articulée en 4 étapes :

1) poser des jetons sur l’abaque juste pour représenter des nombres (numération décimale) 2) poser une addition sur les deux premières lignes de l’abaque puis l’effectuer 3) poser une soustraction (entre le nombre tout en haut et le nombre tout en bas) 4) poser une multiplication (entre le nombre tout en haut et le nombre tout en bas)
poser des nombres
cliquer droit pour ouvrir dans un nouvel onglet
addition
cliquer droit pour ouvrir dans un nouvel onglet
soustraction
cliquer droit pour ouvrir dans un nouvel onglet
multiplication
cliquer droit pour ouvrir dans un nouvel onglet

Voici comment on peut utiliser l’abaque de Gerbert pour additionner 1024 avec 768 :

Voici comment on peut utiliser l’abaque de Gerbert pour soustraire 768 à 1024 :

Et voici comment on peut multiplier 1024 par 768 avec l’abaque de Gerbert :


Pour s’entraîner en ligne, voici la première étape (poser des nombres sans faire d’opérations)

abaque de Gerbert

Abaque de Gerbert

100000 10000 milliers centaines dizaines unités
  1. La première ligne contient le nombre 0
  2. La seconde ligne contient le nombre 0
  3. La troisième ligne contient le nombre 0
  4. La quatrième ligne contient le nombre 0

Post-scriptum

L’abaque de Gerbert a été refait en couleur pour la fête de la science 2018 :

12 colonnes 6 colonnes
Abaque de Gerbert (verso)
Abaque de Gerbert (recto)

On peut s’en servir soit en A3 soit en A4, selon la taille des jetons. Des tranches de bouchons de liège pyrogravées font de bons jetons. La version à 12 colonnes peut être utilisée pour enseigner la représentation des nombres décimaux et le calcul sur ceux-ci.

L’abaque en ligne a aussi été modifié.

Et l’abaque de Gerbert a désormais sa chaîne Youtube

Voici l’abaque au format apk (pour installation sur Android). Le format visé est celui des smartphones mais sur tablette on a plus d’aisance avec les mouvements des jetons. Malgré cela ils sont un peu sensibles aux entrechocs.

abaque de Gerbert pour Android

Commentaires

Logo de m. Lafitte
lundi 19 septembre 2016 à 07h34 - par  m. Lafitte

Bonjour. Tout d’abord j’ai trouvé vos articles et l’idée très intéressants.
J’ai essayé l’abaque de Gerbert, je me suis assez vite aperçu que je ne peux pas l’utiliser en l’état avec des élèves de sixièmes.
1) Si un élève place en première ligne dans l’abaque _ _ 2 4 6 _ (2 460)
puis si il s’aperçoit qu’il s’est trompé et décide de changer le 6 de colonne ( ce qui arrive assez souvent à un élève )pour « écrire » _ _ 2 4 _ 6 (2 406)
le logiciel affiche le commentaire : 1.La première ligne contient le nombre 2466.
et dans le récit de l’activité on a
Un jeton portant le chiffre 6 a été déposé dans la ligne 1, dans la colonne des 10 ; ce qui a amené à représenter le nombre 2460 à la ligne 1.
Un jeton portant le chiffre 6 a été déposé dans la ligne 1, dans la colonne des 1 ; ce qui a amené à représenter le nombre 2466 à la ligne 1.
Existe-t-il donc un moyen de mettre l’affichage erroné à jour.
2) j’ai regretté aussi (pour mes sixièmes qui ont des difficultés) que l’affichage ne sépare pas correctement les chiffres par tranche de trois chiffres.
Dans l’attente de vous lire, merci encore pour votre contribution.
M. Lafitte