Jeux de semailles en solitaire

mercredi 28 mai 2014
par  Alain BUSSER

Pour s’entraîner aux gestes des jeux de semailles, on joue parfois à des versions en solitaire. Celles-ci ne sont pas toujours faciles... En voici quelques-unes programmées en CoffeeScript.

Des nombreux jeux de semailles, ou mancala, existent sur presque toute la planète. On distingue quelques catégories :

  • Les jeux dits solo [1] où chaque joueur sème uniquement sur son propre territoire, et rapatrie dans son territoire les graines prises à l’adversaire ;
  • les jeux dits wari (l’awalé est le plus connu), où les graines prises sont retirées du jeu, et placées dans un grenier souvent hors du plateau de jeu ;
  • d’autres mancala essentiellement asiatiques où le grenier (« kalah ») est utilisé au cours du jeu : On y sème mais en général on n’y récolte pas. Exemple, le congklak où chaque joueur a son grenier [2].
  • Finalement, des versions solitaires du jeu, essentiellement asiatiques, où le grenier s’appelle « Rouma » [3]. Ce jeu est très répandu paraît-il en Inde.

L’ordinateur sert ici à aider à jouer, puisque ces jeux en solitaire ne nécessitent pas de moteur d’intelligence artificielle. Ces versions en solitaire sont donc plus faciles à programmer. Voici leur généalogie :

  • Le jeu de Tchouka-Rouma a été diffusé par Édouard Lucas [4] [5]
  • puis par des travaux de Deledicq et Popova
  • Un site Internet lui a été consacré.
  • Une étude théorique lui a été consacrée.
  • En 1977, Véronique Gautheron, pour une étude combinatoire sur ce genre de jeu, a inventé une silmplification (sans retour à la case départ, sans répétition du coup) qu’elle a baptisé Tchoukaillon.
  • Tchoukaillon aussi a eu droit à des études mathématiques.
  • Mais un résultat particulièrement intéressant est celui-ci : Le nombre de graines du tchouka-rouma (appelé tchoukaillon dans l’article) à n trous est asymptotiquement égal à n²/π...
  • Une variante a été proposée par Élisabeth Busser et Gilles Cohen dans « les jeux mathématiques du Monde », avec des grains de riz, et où on sème en s’éloignant de la Rouma.

Ci-dessous on peut s’entraîner au Tchoukaillon à 4 trous, avec un mode pas-à-pas sous la forme d’un bouton à cliquer. Attention : À la fin du semis, l’indication « il reste 0 graines à semer » est trompeuse : Il faut cliquer une dernière fois sur le bouton pour pouvoir jouer un autre tour :

Tchoukaillon

Tchoukaillon

À chaque tour, on choisit une case non vide, et on prend toutes les graines qu'elle contient. Puis on les sème une à une vers la droite, jusqu'à arriver à la dernière case, qui s'appelle la Rouma..

  • Si il reste des graines, on a perdu; autrement dit, la dernière graine doit tomber dans la Rouma.
  • On n'a pas le droit de prendre les graines de la Rouma: Une fois qu'une graine est dans la Rouma, elle y reste.
  • Si la dernière graine tombe dans une autre case que la Rouma, on a perdu également.
  • Le but du jeu est d'amener toutes les graines dans la rouma.
4
2
2
0
0

Il reste encore graine(s) à semer.


Quelques variantes du jeu (cliquer sur les images pour ouvrir le jeu dans le navigateur internet) :

1 : Tchoukaillon

  • à 4 trous :
le jeu de Tchoukaillon à 4 trous
on choisit un trou en cliquant dessus.
  • à 5 trous :
le jeu de Tchoukaillon à 5 trous
en cas de situation blocante, il ne reste plus qu’à relancer la page !
  • à 6 trous :
le jeu de Tchoukaillon à 6 trous
plus difficile avec 6 trous !

Remarque : Le nombre de graines est donné dans le tableau suivant, et comparé à l’estimmation théorique : Il y a plus de graines dans Tchoukaillon que dans Tchouka-Rouma :

nombre de trous estimation théorique valeur effective
4 5 8
5 8 11
6 11 17

2 : Le jeu de Tchouka-Rouma

le jeu de Tchouka-Rouma
le jeu original, à 4 trous et 2 graines par trou

3 : Les jeux du Monde

  • L’énoncé du Monde (on y parlait de grains de riz au lieu de graines) :
le premier jeu du Monde
début de l’énoncé
  • Le corrigé du Monde :
le second jeu du Monde
en fait la question était de trouver ce jeu, maintenant on n’en demande que la solution

Post-scriptum

Chip-firing

Les jeux de semailles offrent quelque ressemblance avec les jeux de chip-firing sur graphes orientés (la différence est qu’on ne sème pas tous les jetons mais juste ce qu’il faut).

awale

Des variantes du jeu d’awalé peuvent être jouées sur des graphes orientés, en voici quelques-unes :

awale généralisé le source de l’article

katro

Un jeu de semaille est très connu à Madagascar, il s’appelle katro et se joue, contrairement à awalé, sur deux colonnes par joueur. Le port-folio ci-après montre comment Flacourt décrivait son ancêtre (du moins la version du sud malgache).

Sowing

Dans le cadre de la semaine des maths 2019 (thème « jouons ensemble avec les mathématiques ») a été proposée un atelier (le vendredi 29 mars au Moufia, à l’occasion du congrès MAThs.en.JEANS) sur le jeu Sowing (à deux joueurs), créé par John Conway. Voici une partie de ce jeu, entre deux enfants qui n’y avaient jamais joué auparavant :

N. explique à son cousin que ce trou n’est pas jouable, car quel que soit le sens de semaille, la seconde graine tomberait dans un trou vide, ce que la règle du jeu interdit :

Chaque joueur sème de sa gauche vers sa droite. Du point de vue de N. (à gauche sur la photo), le jeu suivant peut être représenté par ce tableau :

2 4 1 2 0 3

Comme la case à 4 graines peut être semée vers la droite de N. (la quatrième graine tombera dans le dernier trou, contenant actuellement 3 graines), N. fait le choix de jouer ce trou (elle aurait pu semer les 2 graines tout à gauche, la graine unique ou les 2 graines vers le milieu ; dans chaque cas, vers sa droite) :

Après avoir semé les 4 graines, le tableau est, du point de vue de N., le suivant :

2 0 2 3 1 4

Son adversaire (qui sème vers la gauche de N.) peut jouer l’un des trois trous centraux, à 2, 3 ou 1 graine. Il choisit de semer les 3 graines :

ce qui donne ce tableau :

3 1 3 0 1 4

N. va alors semer les 3 graines du centre :

ce qui donne le tableau

3 1 0 1 2 5

Son adversaire décide alors carrément de semer les 5 graines :

ce qui produit le tableau

4 2 1 2 3 0

qu’on peut abréger en

4 2 1 2 3

Si N. sème les 4 graines à sa gauche,

elle gagne :

En effet le nouveau tableau est

0 3 2 3 4

dont chaque case comprend suffisamment de graines pour semer la dernière d’entre elles trop à droite (à gauche pour N.) pour pouvoir effectuer le semis en respectant la règle du jeu. Son adversaire ne pouvant effectuer aucun mouvement, N. a gagné, selon la convention de John Conway (auteur de ce jeu).

Voici la présentation donnée au colloque M.e.J :

Et le fichier du plateau de jeu, pour imprimante 3D (éviter d’enlever le support afin de laisser de la solidité au matériau) :


[1selon Assia Popova, ce genre de jeu existe surtout dans la moitié sud du continent africain. Voir à ce sujet Tiennot Luc, « Les jeux de semailles à Madagascar » in Moyon, M., Pestel, M.J. & Janvier M. (eds) Maths Express au carrefour des cultures, Paris, CIJM, 2014

[2Une version commerciale américaine a été inventée en 1940 par William Julius Champion, junior, et a été commercialisé dès 1950 par une « Kalah game company ». On en trouve maintenant sur Android sous le nom de Mankalah et même sur Nokia, où il s’appelle Bantumi ! D’après Jeroen Donkers, le mot kalah signifierait « perdre » en Indonésie

[3« maison » en Malais, où le jeu semble populaire

[4auteur du jeu « les tours de Hanoï » ainsi que de la Pipopipette, il s’agit du célèbre arithméticien amateur.

[5En fait, on ne connaît pas trop l’origine du jeu. Actuellement souvent décrit comme indien de l’Est, le jeu a été décrit pour la première fois par Henri-Auguste Delannoy lors d’une correspondance avec Édouard Lucas, ce qui l’a amené à considérer Lucas comme l’inventeur du jeu. Deledicq et Popova le croyaient russe (le jeu, pas Lucas !), mais rien n’est venu étayer cette hypothèse depuis leurs écrits.


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