Corrigé de l’exercice 2 du bac S 2014

lundi 7 juillet 2014
par  Alain BUSSER

Partie A

Question 1

a

L’arbre pondéré peut se construire avec le fichier ci-dessous [1]

Pour télécharger l’outil (ou l’ouvrir dans un autre onglet), cliquer droit sur l’image ci-dessous :

l’arbre pondéré en ligne
Manipuler les curseurs pour adapter les probabilités (conditionnelles)

Pour construire l’arbre, il suffit donc de manipuler les curseurs en lisant l’énoncé ; on devrait obtenir ceci :

b

Les calculs sont juste en-dessous de l’arbre pondéré :

c

En fait, non puisque le résultat est légèrement supérieur à « une chance sur deux » :

Question 2

Une fois que ce qui précède a été fait, il suffit de manipuler le curseur en haut à gauche (M) jusqu’à ce que l’affichage de la probabilité conditionnelle tout en bas dépasse 0,95 ; on trouve x environ 0,016 :

L’arbre pondéré en ligne :

exercice 2 bac S 2014

Arbre pondéré (pour l'exercice 2 bac S 2014)

On considère deux évènements M "la personne est malade" (évènement conditionnant) et T "le test est positif"; on peut donc piloter P(M), PM(T) et PM(T)

M
0.06 M
0.94
0.975 T
0.025 T
0.03 T
0.97 T

Actuellement, on a

  • P(M)= et P(M)=.
  • PM(T)= et PM(T)=.
  • PM(T)= et PM(T)= .
Alors
  • P(M∩T)=× =, et P(M∩T)=× =, d'où P(T)=+=
  • PT(M)=P(T∩M)/P(T)=/=

Partie B

Question 1

a

On demande de calculer une probabilité normale ; le calculateur de lois normales est donc sollicité pour cela. On entre les paramètres suivants :

  • 900 pour l’espérance
  • 7 pour l’écart-type
  • 890 et 920 pour les bornes de l’intervalle

La probabilité apparaît alors [2] [3], ainsi qu’un graphique montrant l’asymétrie de l’intervalle :

b

L’interactivité de l’outil en ligne permet de rapidement tâtonner pour plusieurs valeurs de h (qui doivent être entières d’après l’énoncé) :

18 est trop petit :

Et 19 est trop grand :

Mais un seul des deux donne une probabilité de 0,99 à un millième près, ce qui répond à la question [4].

Variante

On pouvait aussi chercher une loi binomiale ayant pour espérance 900 et pour écart-type 7. On trouve environ 952 et 0,9455555 pour paramètres [5]. On ouvre le calculateur d’intervalle de fluctuation et on entre ces deux valeurs pour paramètres...


Question 2

Comme le suggère l’énoncé, on peut utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique à 95%. Pour cela, on va ouvrir l’outil adéquat, et entrer les paramètres suivants :

  • 1000 pour la taille de l’échantillon
  • 0,97 pour la probabilité de succès

L’intervalle de fluctuation asymptotique est non seulement calculé [6] mais aussi dessiné :

Puis on calcule le nombre de succès dans l’échantillon (1000-53=947) et on entre ce nombre pour avoir la réponse (« refusé » veut dire « oui » !) :

Variantes :

On pouvait aussi intervertir les succès et échecs afin d’éviter de faire la soustraction à 1000. Dans ce cas la probabilité de succès n’est plus 0,97 mais 0,03. Et la réponse est évidemment la même qu’auparavant :

On pouvait aussi (le « on pourra » de l’énoncé disait que l’intervalle de fluctuation asymptotique n’était pas obligatoire) utiliser un intervalle de fluctuation, basé sur une loi binomiale de paramètres 1000 et 0,03 :

Les calculs sont plus longs dans ce cas, ce qui montre l’intérêt de l’intervalle de fluctuation asymptotique...


[1inspiré de cet outil, dont les curseurs ne sont sensibles qu’au centième près

[2Attention à ne pas oublier de l’arrondir !

[3Noter que ce n’est pas la valeur utilisée dans la question 2.

[4On demandait en fait de calculer un intervalle de fluctuation à 99% pour une loi normale, qui n’est pas une approximation de loi binomiale ; ce qui est hors programme...

[5On veut que n×p=900 et n×p×(1-p)=49 soit 900(1-p)=49. Alors p=851/900 d’où, par division, n=810000/851

[6Contrairement à la calculatrice, il est affiché en nombre de succès et non en proportion de succès


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