Exemples de suites ultimement périodiques

jeudi 5 février 2015
par  André SEGUIN

L’objet de l’article est de montrer que les éléments d’une certaine famille de suites binaires sont des suites ultimement périodiques, c’est-à-dire périodiques à partir d’un certain rang. Le thème pourra inspirer des enseignants de lycée ou de classes post-bac pour concevoir des explorations algorithmiques susceptibles de favoriser la démarche d’investigation.

Cet article (voir document joint) traite d’une famille de suites binaires $(u_n)_{n>0}$ que l’on obtient à partir d’une suite initiale $(U_n)_{n>0}$ définie par récurrence :
$ \left\{ \begin{array}{l} U_1=b\\ U_{n+1}=\frac{a}{2} U_n+1\quad \mathrm{si}\ U_n\ \mathrm{est\ pair}\\ U_{n+1}=\frac{a}{2} (U_n+a^n)+1\quad \mathrm{si}\ U_n\ \mathrm{est\ impair} \end{array} \right $
a est un entier naturel impair tel que a > 1, et b est un entier naturel).

On considère alors la suite associée $(u_n)_{n>0}$ qui donne la parité des termes :
- si $U_n$ est pair alors $u_n =0$ ;
- si $U_n$ est impair alors $u_n =1$.

Le but poursuivi est de montrer que :
- ces suites binaires sont ultimement périodiques avec pour période l’ordre de 2 modulo $\frac{a(a-2)}{\mathrm{pgcd} (b-1, a)}$ ;
- elles sont périodiques si et seulement si 0 ≤ b < a.

Table des matières

  • Introduction
  • Première partie : b = 1
    • I-A-1 Observation des premières valeurs des suites associées
    • I-A-2 Cinq observations sur le motif
    • I-B Existence d’une période pour tout nombre a
    • I-B-1 Mise en évidence d’une suite
    • I-B-2 La suite binaire associée (rn)n>0 est périodique
    • I-C Des résultats sur la période et le motif.
    • I-C-1 Le motif
    • I-C-2 La période
    • I-D Des réponses aux cinq observations
    • I-E À propos de la périodicité ’’verticale’’ dans le tableau
  • Deuxième partie : Étude d’une fonction
    • II-A-1 à II-A-5 Propriétés
    • II-B-1 Orbites
    • II-B-2 Orbite conjuguée
    • II-B-3 Un théorème
  • Troisième partie : b appartient à N
    • III-A Les suites associées sont périodiques si le premier terme vérifie 0 ≤ b < a
    • III-B Le premier terme vérifie a ≤ b
  • Pour aller plus loin

Documents joints

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