Arithmétique et itérations

mardi 25 août 2015
par  André SEGUIN

Au travers d’une famille d’applications définies sur N* et dépendant de deux paramètres a et c, des problèmes de type Syracuse sont étudiés, dont certains sont résolus avec des moyens du niveau lycée.

Les applications considérées sont définies dans N* par la relation $n \mapsto \frac{c+p1(2an+1)}{2}$, où a et c sont dans N* avec c impair, et p1(n) désigne le plus petit diviseur premier de n (ainsi, p1(21) = 3).

Exemple de problème étudié :

Pour a = 31 et c = 61, les itérés de 1 sont :

1 → 32 → 33 → 42 → 33 → 42 → 33 → ...

On parle également du vol de 1. Le vol de 89 est :

89 → 2790 → 86521 → 32 → 33 → 42 → 33 → ...

Nous montrerons dans la partie B qui englobe ces deux valeurs des paramètres, que quel que soit l’entier de départ, le vol boucle sur le cycle 33, 42.

Pour d’autres valeurs des paramètres plusieurs cycles pourront apparaître, parfois même des points fixes. Enfin dans une grande majorité de cas, nous ne saurons pas justifier la convergence, mais cela nous mènera vers les « nombres premiers en progression arithmétique » et les « suites de Cullingham généralisées », qui sont des sujets d’actualité.

Le logiciel Xcas est utilisé pour les calculs.

On peut construire les graphes pour les cas a ≡ 2 ou a ≡ 3 mais ils nous renseignent peu. Les méthodes exposées pour expliquer la convergence vers le cycle ne s’appliquent plus dès que l’on aborde le cas général. D’autres questions restent sans réponse. Par exemple : comment connaître le nombre de cycles à partir des paramètres a et c ?

J’espère que ce texte donnera l’occasion d’expérimenter quelques programmes pour observer cette convergence qui fait penser à la loi d’attraction terrestre.

Sommaire

  • Introduction
  • A - Généralités sur la fonction
    • Étude des points fixes
    • Comparaison entre n et f(n)
  • B - Une sous-famille : a et c congrus à 1 modulo 3
    • Graphe associé
    • Étude des itérés de i0
    • Convergence des vols
  • C - Une autre sous famille : a ≡ 1 (3) et c ≡ 0 (3)
    • Graphe associé et convergence
  • D - Vers les « nombres premiers en progression arithmétique » et les « suites de Cullingham généralisées »
  • E – Un cas particulier
    • La croissance propulsée
    • L’intervalle I
  • F – Une propriété des points fixes

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