Porisme de Steiner dynamique

jeudi 4 juin 2009
par  Yves MARTIN

Par sa manipulation directe, la géométrie dynamique pose de nouvelles questions même sur les anciens problèmes. Le porisme de Steiner en est un bel exemple si on veut pouvoir manipuler le cercle intérieur par son centre : la question posée pour cela n’avait pas d’intérêt particulier avant cette possibilité de manipulation.

Le sens du terme porisme a évolué dans le temps. Il n’a plus maintenant le sens qu’on lui donnait dans la Grèce antique. On appelle désormais « porisme », une propriété géométrique indépendante d’une condition initiale. Les deux plus célèbres sont le porisme de Poncelet et celui de Steiner.

Porisme de Steiner

Étant donnés deux cercles $C$ et $C’$, le second intérieur et non tangent au premier, on construit un cercle $C_1$ bitangent à $C$ et $C’$ puis une chaîne de cercles $C_k$ tel que $C_{k+1}$ soit tangent à $C$, $C’$ et $C_k$.
Alors s’il existe $n$ tel que $C_n$ coïncide avec $C_1$, cette propriété est indépendante de $C_1$ et ne dépend que des rayons de $C$ et $C’$ (ainsi que $n$).

1. La présentation classique

Une première démarche, quand il s’agit d’en faire une illustration statique est de faire la figure inverse : transformer une figure avec deux cercles concentriques en la figure correspondante de Steiner. Dans la figure suivante, on a inclus, par magnétisme sur le point M, trois valeurs du nombre de cercles autour du cercle inscrit.

<carmetal|doc=580|largeur=771|hauteur=562>

Le but de cet article est de faire une figure sur laquelle on agit directement sur le cercle intérieur

2. Recherche de l’inversion solution

La preuve donnée généralement pour le porisme de Steiner est contenue dans le théorème de réduction de deux cercles : on peut toujours trouver une inversion qui transforme deux cercles quelconques en deux cercles concentriques. Les ouvrages de géométrie ne vont guère au delà de cette autre écriture du porisme appelée aussi :

L’alternative de Steiner

Soient deux cercles $C$ et $C’$ dont l’un est intérieur à l’autre [non tangent] et une suite de cercles $\left(C_k\right)$ tel que $C_{k+1}$ soit tangents aux cercles $C$, $C’$ et tangent extérieurement à $C_k$. Les cercles vérifient une des propriétés suivantes :
1) ou bien , il existe un entier $n$ tel que $C_n$ = $C_1$, et ce quel que soit le cercle initial $C_1$, i.e. « toute suite de cercles se referme » ;
2) ou bien aucun cercle $C_k$ (k>1) ne coïncide avec le cercle $C_1$ et ce quel que soit le cercle initial $C_1$, i.e. « aucune suite de cercles ne se referme ».

Pour réaliser une version dynamique, on cherche une inversion qui, pour deux cercles concentriques et un point O donné, conserve globalement le cercle extérieur et qui va transformer le cercle intérieur en un cercle de centre O.

<carmetal|doc=576|largeur=790|hauteur=523>

3. La construction effective de la figure, en 5 étapes

On se propose d’entourer le cercle intérieur de 5 à 9 cercles. Voici une figure intermédiaire, qui rend compte des étapes à réaliser

<carmetal|doc=577|largeur=819|hauteur=604>

4. La figure finale

La seule réellement à télécharger, pour laquelle cet article a été fait.

<carmetal|doc=579|largeur=806|hauteur=615>


Documents joints

Steiner2_Reduction
Steiner3_Méthode
Petite leçon de CaRMetal
Porisme Steiner Final
CarMetal - 23.9 ko

Commentaires