Les cercles fixes de CaRMetal

Parce que fixe ne veux pas nécessairement dire ce que l’on croit
mercredi 3 juin 2009
par  Yves MARTIN

L’item « cercle de rayon fixe » pourrait être utilisé dans une version élémentaire « centre-rayon » avec un rayon fixe ... comme son nom l’indique. En fait le rayon peut être une expression, ce qui en fait un « cercle de rayon fonctionnel ». Voyons cela sur des activités élémentaires.

Le cercle de rayon fixe peut bien entendu être utilisé dans des situations uniquement numériques. Dans la figure suivante, sur un cercle de rayon 2, on place un point A, et on trace un cercle de centre A et de rayon 4. Dans une classe de CM2 ou de 6°, cette situation permet de faire fonctionner le vocabulaire de base - rayon - diamètre - droite - sur une situation dyamique surprenante pour les enfants et inviter à proposer des argumentations sur la situation (sur le thème de la « géométrie des propriétés des objets » pour le cycle 3 de l’école primaire.

<carmetal|doc=581|largeur=680|hauteur=470>

Cercle de rayon fonctionnel

Mais cet item de cercle a une toute autre utilisation, celui d’algébriser le rayon d’un cercle et donc de disposer d’un cercle dont le rayon dépend de la figure. Bien-sûr, ceci a été implicitement utilisé dans différentes pages précédentes de ce site, par exemple sur le Porisme de Steiner, mais souvent dans des figures assez longues à faire. Il s’agit cette fois de proposer une activité élémentaire, réalisable par des personnes qui découvrent la géométrie dynamique en formation.

On se propose de réaliser la figure suivante sur les triangles et quadrilatères inscriptibles et circonscriptibles :

<carmetal|doc=582|largeur=790|hauteur=523>

Le lecteur utilisera ou non le popup pour faire une seule figure ou séparer les deux cas triangle et quadrilatère. Si on utilise le pop-up, il suffit pour chaque figure de cacher les objets d’un item quand l’autre item est actif dans l’onglet « Conditionnel », comme ci-dessous, le cercle du triangle es caché le pop-up « poly » est sur « quadrilatère » :

En formation si on ne prévoit ps de travailler sur le pop-up menu, on prendra le cas du quadrilatère pour la fin de la figure, non traitée ici.

D’une manière générale, on appelle dans la suite cExt le cercle extérieur. Utilisé dans une formule, ce nom représente la mesure du rayon, et traçons le segment allant du centre de ce cercle à un point O qui sera le centre du cercle cherché. Ce segment s’appelle s1 (si c’est le premier construit). Le nom s1 dans une formule représente la mesure du segment.

Plaçons nous dans le contexte quadrilatère (voir le formulaire dans la figure précédente). On construit une expression, que l’on nomme invQD (pour valeur inverse du rayon pour le cas quadrilatère) et donnons lui la valeur souhaitée :

Il suffit ensuite de créer un cercle de centre O de rayon quelconque avec l’item de « cercle de rayon fixe » et de lu donner la valeur algébrique qu’il faut :

On termine ensite la figure dans ce cas là de manière ordinaire, avec la tangente à un cercle issue d’un poit M.

Deux options pour la suite, soit on recommence, avec un autre cercle, la même opération pour le cas du triangle, soit on veut conserver le même cercle et dans ce cas on peut mettre rayon conditionnel, du genre :

if(a==1 ;1/invTR ;1/sqrt(invQD)

si on a appelé bien-sûr invTR une expression pour la formule du rayon dans le cas du triangle :

Mais le plus simple reste de faire 2 cercles, car si on ne construit qu’un seul cercle, il faut ensuite gérer les points du triangle et du quadrilatère quand on définit le polygone solution, ce qui complexifie la figure inutilement (même si cela peut être un bon exercice de gestion logique de la situation).

Attention aux valeurs algébriques négatives

En formation, avec une figure préconstruite (les 12 points d’aimantation sont déjà construits) on termine parfois cette figure issue d’un problème de recherche au CM2 sur la problématique générale de l’absence de relation entre la variation de l’aire et celle du périmètre d’un rectangle - d’où l’aimantation sur les entiers.

En pratique les élèves ont à chercher sur papier quadrillé ordinaire, les rectangles à « côtés entiers » de périmètre 24 et à comparer les aires de ces rectangles. La mise en commun peut se terminer par l’observation de cette figure, en suscitant des commentaires, ce qui rentre aussi dans les compétences de lecture de graphique du chapitre « organisation des données », si on active l’aspect continu.

<carmetal|doc=587|largeur=808|hauteur=596>

Le « Penser à effacer les traces » est destiné à une utilisation hors ligne, d’où le début en ligne par le cas discret.

En classe de CM2, si on n’envisage pas d’utiliser le graphique de l’aire, on peut le supprimer et se contenter d’utiliser les valeurs numériques et les variations du rectangle. C’est aussi une utilisation satisfaisante.

Pour m’être laissé plusieurs pris au piège moi-même, et parce que c’est formateur, je propose de reporter l’aire en utilisant l’expression du polygone dans le rayon d’un cercle fixe. En pratique, cela ne fonctionne pas sur une bonne partie des stagiaires puisque la valeur algébrique de laire du polygone dépend du sens utilisé pour définir le polygone à partir des 4 points du rectangle (trigonométrique ou non).

En effet, l’affichage de l’aire dans CaRMetal est toujours géométrique (pour une utilisation immédiate dans les classes en collège), mais pour des utilisations plus sophistiquées, la variable associée au nom du polygone renvoie une aire algébrique. Dans une utilisation comme celle-ci, il faut donc prendre une valeur absolue de l’aire pour être sûr de construire un cercle de rayon positif. Ci dessous le polygone construit s’appelle p. Par défaut dans CaRMetal il sappelle poly1, poly2, etc.

Ce petit détail technique étant en mémoire (d’expérience ou l’oublie parfois), on peut faire de nombreuses figures en utilisant le cercle fixe comme report d’une grandeur fonctionnelle positive dans une figure.

On pourrait même faire une fois pour toute une macro « report de mesure fonctionnel » où l’on entrerait un point (centre) et un expression exp (le rayon), et la macro renverrait le cercle de centre O de rayon abs(exp).


Documents joints

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AirePérimètre Aimanté

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