Quand les tortues prennent la tangente

Une expérience permet de découvrir la notion de tangente à un cercle
jeudi 13 septembre 2018
par  Alain BUSSER

La tortue Logo permet de découvrir la géométrie différentielle et la cinématique. En particulier, dès que la tortue cesse de tourner, elle « prend la tangente » : Elle suit une droite qui est, dans les faits, tangente à la courbe initiale. Dans le cas du cercle, on peut assez facilement tracer cette tangente puis examiner sa position relative au cercle. Le mieux pour cela est d’utiliser plusieurs tortues, l’une d’elles continuant à tracer le cercle.

Dans cet article, les tracés ont été effectués avec les tortues de Sofus. Tout autre outil ayant plusieurs tortues programmables « simultanément » convient aussi, en particulier Python.

Comment la tortue peut-elle tracer un cercle ?

L’une des premières choses que l’on apprend à tracer avec la tortue, ce sont des polygones réguliers :

  • carré (4 rotations de 90°)
  • hexagone régulier (6 rotations de 60°)
  • octogone régulier (8 rotations de 45°)
  • dodécagone régulier (12 rotations de 30°)

ce qui mène automatiquement à l’idée d’approcher un tracé de cercle par celui d’un polygone régulier ayant beaucoup de côtés et des angles petits. Par exemple, avec 360 rotations d’un degré et en avançant d’un seul pixel à chaque passage dans la boucle, on obtient ce script

et le tracé obtenu ressemble quand même beaucoup à un cercle [1] :

Dans Sofus, la tortue présente au départ porte le brassard numéro 1. Si on crée une seconde tortue appelée « 2 » et la programme pour qu’elle fasse la même chose que la tortue 1, on aura également un cercle mais plus épais :

En fait ce sont deux cercles que l’on voit, mais comme les deux tortues sont identiquement programmées, elles tracent le même cercle et les deux cercles superposés donnent l’illusion d’un seul cercle, plus épais.

Il en est de même si on ajoute une variable n qui prend successivement les valeurs 1, 2, 3, etc jusqu’à 360 :

Cette variable sert à compter le nombre de passages actuellement effectués dans la boucle. Dans le contexte actuel elle ne sert à rien, mais comme elle mesure, d’une certaine manière, le passage du temps, elle peut être mise à profit pour simuler un évènement qui aura lieu au 150e passage dans la boucle.

Au 150e passage dans la boucle, catastrophe : Les roues de la tortue numéro 2 se coincent et elle cesse de parcourir un cercle, pour effectuer une véritable sortie de route que l’on va appeler « prendre la tangente ». Pour programmer ce blocage de roues, on effectue un test sur la valeur de n et selon le résultat on tourne ou pas :

Et de fait, après avoir tourné 150 fois, la seconde tortue part sur une demi-droite tangente au cercle :

Comment avoir la droite complète

Pour mieux voir la tangente, on va faire intervenir une troisième tortue, presque identique à la tortue 2, sauf qu’après 150 passages dans la boucle, elle va reculer au lieu d’avancer :

Cela produit bien le dessin souhaité, d’un cercle avec sa tangente :

Réduction de personnel chez les tortues

En raison de la crise budgétaire, il devient nécessaire de remplacer les 3 tortues par une seule, qui fait tout le travail : Après avoir avancé et tourné 150 fois, elle fait une sortie de route, s’arrête, recule puis revient à l’endroit où elle est sortie et reprend, comme si de rien n’était, le tracé du cercle :

Cela redonne le tracé du cercle avec sa tangente, mais cette fois-ci on ne voit qu’une seule tortue à l’arrivée.

Comme il n’y a plus qu’une tortue, on en profite pour lui donner encore plus de travail, en augmentant la fréquence des sorties de route :

Comme les sorties de route ont lieu quand n est divisible par 15, et que 360=15×24, la tortue prend la tangente 24 fois, et on voit, sans surprise, le tracé de 24 tangentes en plus du cercle :

En déclenchant ces sorties de route tous les multiples de 5, on a 3 fois plus de tangentes, soit une tangente tous les 5° :

Avec autant de tangentes, on n’a même plus besoin du cercle, on le devine comme enveloppe des droites.

Soldes au rayon des tangentes

Ce genre de rosaces (enveloppe des tangentes) peut être tracé avec un script plus simple, la tortue revenant à chaque fois au point de départ :

La tortue tourne de 10° à chaque fois, et le fait 36 fois, ce qui fait bien un tour complet de 360°. Mais elle ne trace plus le cercle :

On voit le cercle non tracé comme enveloppe des tangentes. Mais par contre, la tortue a tracé des rayons, et le fait de voir les rayons en même temps que les tangentes aide à voir l’angle qu’il y a entre chaque tangente et le rayon correspondant.

Idée de preuve

La construction ci-dessus donne également une idée de la manière de prouver la conjecture : Des triangles rectangles apparaissent sur la figure, et cela suggère d’utiliser le théorème de Pythagore. On peut aboutir à quelque chose comme ceci :

Soit O le centre du cercle.

Soit H le point en lequel la tortue a tourné de 90°. Le point H est sur le cercle puisque c’est en ce point que la tortue numéro 2 du début a quitté la route. Il est évidemment aussi sur la droite puisqu’après sa sortie de route, la tortue est allée tout droit. La droite et le cercle ont donc au moins un point commun qui est H. Il reste à prouver qu’il n’y en a pas d’autre.

Soit P un point quelconque (autre que H) de la droite ; alors le triangle OHP est rectangle en H puisque la tortue a tourné de 90° dans le dernier script. Donc, d’après le théorème de Pythagore, OP²=OH²+HP². Comme HP²>0, OP²>OH² d’où OP>OH : P n’est pas sur le cercle, qui n’a donc que H en commun avec la droite.

Ceci prouve que la perpendiculaire en H au rayon est tangente au cercle. La réciproque s’obtient à partir de l’unicité de la tangente à une courbe en un point. Cette unicité revient à dire qu’une fois que la tortue a quitté la route, elle le fait de manière déterministe, ce qui est de fait un prérequis à l’expérience menée ici (et on constate ce caractère reproductible, en reproduisant l’expérience).


[1Une variante permet de tracer des cercles « à main levée », avec l’intervention d’un peu de hasard.


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