Résolution d’équations du premier degré avec CaRMetal

dimanche 14 juin 2009
par  Alain BUSSER

Le passage d’un terme d’une équation d’un membre à l’autre, avec le changement de signe, est très bien visualisable avec un logiciel de géométrie dynamique. L’exemple de CaRMetal est traité ici.

Lorsque Muhamad Ibn Musa Al-Khawarizmi a fondé l’algèbre, il comparait les opérations successives destinées à résoudre l’équation du premier degré à l’équilibrage d’une balance par l’une des opérations suivantes :

  1. al Muqabalah : Enlever (ou ajouter) des masses identiques aux plateaux d’une balance de Roberval [1]
  1. al gabrah : Faire passer une masse d’un plateau à l’autre de la balance [2]

C’est cette dernière opération qu’on peut visualiser avec un logiciel de géométrie dynamique, le changement de signe ayant lieu au moment où le terme passe à la verticale du signe égal. Il y a quelques années, j’avais utilisé mon Atari ST (nostalgie !) pour faire quelques dessins animés où un oiseau venait de l’azur prendre les termes dans ses serres et les trimbaler d’un membre à l’autre. L’avantage d’une figure manipulée au TBI est qu’on peut synchroniser les mouvements de la souris au discours du prof, bref, aller à la vitesse qu’on veut (ou que les élèves veulent).

Et CaRMetal possède une fonctionnalité très intéressante pour l’algèbre : L’« alias ». Tout objet possède deux noms : Son vrai nom, et un pseudonyme (l’alias) qui peut très bien être le même pour plusieurs objets, et qui peut très bien être une formule LaTeX, un texte dynamique genre « %x(A)% » ou même une combinaison des deux. Par exemple, dans ce diaporama, la première diapo fait porter à chaque segment un nom qui est égal à sa longueur supposée [3].

Si on veut changer un « 2x » en « -2x » la première idée est de donner à un point P1 le pseudonyme « if(x(P1)>0 ;2x ;-2x) » qui s’affiche tel quel au lieu de « fonctionner ». Alors mettre ce texte entre « pourcents » pour qu’il soit interprété par CaRMetal : « %if(x(P1)>0 ;2x ;-2x)% ». Là on a des points d’interrogation qui signifient que ça ne marche toujours pas...

Alors on va vers une figure un peu plus compliquée, chaque terme étant associé à trois points :

  • Un point anonyme représenté en clair pour ne pas attirer le regard des élèves, et qui a un double but :
    • Le signe de son abscisse détermine quel texte sera affiché
    • Le texte suivra ce point, que par la suite on appellera poignée.
  • Un point dont l’alias possède un signe « + » et qui suit la poignée.
  • Un point dont l’alias aura le signe « - » et qui suit aussi la poignée.

L’astuce est de faire en sorte qu’on ne voie qu’un seul des deux points à la fois, l’un des deux ayant comme attribut « caché » le texte « x(P1)>0 » et l’autre "x(P1)<0", en admettant que la poignée s’appelle P1.

Voici un exemple, où la poignée du terme "8" s’appelle P7 et où la première moitié du texte a pour alias "-8" et se voit lorsque P7 est à droite de l’origine, l’autre moitié (représentée ci-dessous) ayant pour alias "+8" et se voyant, elle, lorsque P7 est à gauche de l’origine.

Voici l’exemple de l’équation 3-2x=8-6x dont les quatre poignées se manipulent à la souris, le passage au-dessus, ou au-dessous, du signe égal devant se faire assez loin pour échapper au magnétisme qui garantit l’alignement horizontal des termes :

l’équation
télécharger puis ouvrir avec CaRMetal, et bouger les termes à la souris

Quelques améliorations sont possibles :

  1. pour faire « frime », le texte « Tilt ! » et une ampoule électrique s’allument lorsque le terme change de signe. Ceci peut distraire les élèves et il peut être souhaitable de les enlever. L’ampoule apparaît lorsque la variable « t » est égale à 1. Or « t » est une disjonction de booléennes égales à 1 lorsque l’une des abscisses des poignées est petite (distance à 0 inférieure à 0,1). En supprimant « t » (avec l’aide de la baguette magique car il est invisible), on supprime une bonne partie de l’ampoule qui dépend de t.
  2. J’ai fait le choix de garder les couleurs des termes constants lorsqu’ils changent de membre. On peut attirer l’attention sur le changement de signe en faisant dépendre la couleur du signe de l’abscisse de la poignée ; à tester de préférence en classe.
  3. Bien sûr, on peut aussi faire des fichiers analogues pour les équations-produits, par exemple dans un diaporama CaRMetal où les équations présentées sont en fait les mêmes (une diapo avant développement, statique celle-ci, une diapo comme celle ci-dessus, et une diapo ax=b). Reste à faire le choix entre la division par a et la multiplication par son inverse.
  4. Constituer une banque d’exercices de ce genre (solution négative ou positive, entière ou fractionnaire, termes entiers, décimaux, fractionnaires ou même radicaux, ...) pourrait être fait par une équipe, pourquoi pas un atelier d’une IREM, pourquoi pas de cette IREM ?

    Bonus : L’oiseau

Pour que l’oiseau batte des ailes (polygonales), il faut rajouter aux ordonnées de leurs sommets des termes proportionnels au produit suivant :
sin(1000*x(P1))*sin(1000*y(P1))
où P1 est le nom de la poignée. Dans ce cas l’oiseau ne bat des ailes que si la trajectoire de la poignée ne se fait pas sur une ligne où sin(1000*x(P1)) ne s’annule pas, ni sin(1000*y(P1)). Dans l’exemple ci-dessous, la poignée est le sommet de la crête de l’oiseau (plume médiane) :

l’oiseau

Par contre pour que l’oiseau puisse attraper puis lâcher des termes, il faut un magnétisme conditionnel, ce qui est nettement moins facile à implémenter...


Pour savoir si le fait de rendre tellement visuelle la résolution des équations présente un intérêt pédagogique, il n’y a qu’un moyen : Tester en classe...


[1bien que ce dernier ne fût pas encore né à l’époque de Al Kharawizmi, lequel employait en fait des analogies médicales

[2Rappelons que c’est de ce mot arabe que vient le latin « algèbre »... C’est par ailleurs du nom d’Al Kharawizmi que vient le latin « algorithme »

[3on peut obtenir un effet analogue en affichant la valeur (icône « A » dans les propriétés) mais un zoom serait nécessaire


Commentaires

Logo de silav honji
mardi 29 mars 2011 à 10h08 - par  silav honji

Article il me semble interssant. zeba Mais c’est certains que le contexte peut cnaher.

Logo de Yves MARTIN
lundi 15 juin 2009 à 12h12 - par  Yves MARTIN

Belle idée ... Daniel C. avait fait des choses un peu équivalentes en Flash il y a quelques années.

L’avantage de la GD ici est le micro monde de ses macros qui permettrait de développer des procédures utilisables pour différents types de situations, et donc de dégager une typologie sur la base d’un micro monde de résolution de ce type.

Et puis l’oiseau ... on va lui apprendre à prendre les termes pendant les vacances ... ne serait-ce que par la méthode de permanence magnétique d’Éric ... ou par ce que j’avais appelé une autre fois la technique d’engagement direct augmenté. A suivre donc ...