Géométries non euclidiennes

Cette rubrique se propose de présenter (à terme) les géométries hyperbolique et elliptique et plus généralement les axiomatiques dites « absolues », en particulier celle de Bachmann.

Mais géométrie non euclidienne ne signifie pas uniquement hyperbolique ou elliptique, d’autres axiomes peuvent ne pas être vérifié, et c’est par un autre cas que nous avons choisi d’ouvrir cette rubrique, avec le plan de Moulton.

Ensuite, avant d’entrer dans le détail de ces géométries, nous proposons au lecteur un bilan dynamique - très loin d’être exhaustif, mais intéressant quand même - sur la question de l’interprétation et des modèles. Pour proposer des figures à manipuler assez riches, techniquement, il a fallu couper l’article en 5 parties, mais ce thème est à considérer comme un seul article.

Bien entendu parler des modèles avant de parler des géométries, même en commençant par les cas finis, contient en soi une certaine récursivité quant à l’appel des connaissances du lecteur : clairement la présentation n’est pas séquentielle et contient parfois, au détour d’un item de menu, des concepts qui ne seront introduits que plus tard ... Mais ces racorucis permettent d’entrer plus vite dans le cœur du sujet, et l’aspect dynamique de sfigures concours à se construire très rapidement des représentations particulièrement fiables des concepts abordés.


Articles publiés dans cette rubrique

mercredi 29 octobre 2003
par  Yves MARTIN

Conception et mise en œuvre de micromondes de géométries non euclidiennes. Expérimentation en formation des maîtres

Ce travail de thèse se décompose en deux parties : tout d’abord une partie de mise en œuvre de micromondes de géométries non-euclidienne (les chapitres 1 à 4) puis une partie d’expérimentation en formation initiale des PLC2 (les chapitres 5 à 8). Ainsi un intérêt plus mathématique portera à regarder les premiers chapitres, un intérêt de formation à regarder plutôt les derniers. Pour les quatre premiers chapitres, le texte est accompagné de figures Cabri indexées ce qui permet de suivre le contenu des chapitres en manipulant les figures.

mercredi 11 mai 2011
par  Yves MARTIN

La géométrie hyperbolique implémentée dans CaRMetal 3.6

Une pratique, même élémentaire, de la géométrie hyperbolique dans un modèle particulier, outre se frotter à d’autres paradigmes géométriques, est une belle occasion de comprendre comment fonctionne l’enseignement de la géométrie usuelle au collège du côté de l’apprenant, en se confrontant soi-même aux mêmes réalités ....

lundi 18 juillet 2011
par  Yves MARTIN

Ah ! Faire enfin de la géométrie avec des pinceaux !

CaRMetal nous offre une palette d’outils innovants qui permettent d’explorer la géométrie hyperbolique dans des domaines où elle a peu été étudiée. Cet article présente aussi l’axiomatique qui soutient cette démarche et la réflexion du précédent article sur la géométrie hyperbolique.

vendredi 29 mai 2009
par  Yves MARTIN

Interprétation et modèles en géométrie (Partie 1)

Depuis le début du XXe siècle, une approche axiomatique de la géométrie définit des mots premiers et ceux-ci sont interprétés généralement avec des objets ou des structures mathématiques. Quand tous les axiomes sont satisfaits, cette interprétation est appelée un modèle pour ce système d’axiomes. On se propose ici de regarder — dynamiquement — quelques modèles de différentes géométries, sur 5 parties. La première est construite autour de la géométrie plane finie.

samedi 30 mai 2009
par  Yves MARTIN

Interprétation et modèles en géométrie (Partie 2)

Cet article est consacré à une version dynamique du modèle tétraédrique de l’espace projectif sur le corps à deux éléments. Les deux figures proposées peuvent être prises comme un divertissement culturel qui permet d’explorer un domaine vers lequel on n’irait pas naturellement sans la manipulation directe sur l’objet en question.

dimanche 31 mai 2009
par  Yves MARTIN

Interprétation et modèles en géométrie (Partie 3)

Dans cette partie nous allons rencontrer une interprétation des mêmes objets mathématiques comme droites de deux géométries, la différence intervenant sur l’interprétation des points. On poursuivra par des conséquences sur les milieux et une première réflexion sur l’incidence absolue.

lundi 1er juin 2009
par  Yves MARTIN

Interprétation et modèles en géométrie (Partie 4)

Cette partie est consacrée à l’exemple de la pseudosphère de Beltrami en relation avec le modèle plan dit de « Klein Beltrami ». Si ce modèle, construit sur la géométrie intrinsèque de la surface, a la particularité de n’être que local et un peu complexe, il offre pourtant des représentations saisissantes de certains objets.

lundi 8 juin 2009
par  Yves MARTIN

Interprétation et modèles en géométrie (Partie 5)

Après avoir fait un tour d’horizon de différentes interprétations des objets comme les droites pour donner des modèles à des géométries spécifiques, dans cette dernière partie, nous abordons la question de l’incidence, dans une perspective axiomatique qui s’inscrit dans le prolongement du programme d’Erlangen de Félix Klein (1872). On s’installe donc dans une démarche dite de « seconde axiomatisation » qui va chercher ses invariants absolus dans une lecture algébrique des propriétés premières de la géométrie.

dimanche 17 mai 2009
par  Yves MARTIN

Utilisation de macros implicites sur la pseudosphère

Cet article propose au lecteur de construire en ligne des figures sur les surfaces pseudosphériques de révolution. C’est l’occasion de voir la discrétion technique - et sa souplesse sous-jacente - que permettent les possibilités implicites.

lundi 9 mars 2009
par  Yves MARTIN

Géométrie non arguésienne dynamique implémentée avec CaRMetal

Avec la géométrie non arguésienne, on dispose d’un exemple de géométrie dans laquelle le mouvement n’est pas pertinent pour illustrer la congruence. C’est donc un exemple de géométrie qui illustre parfaitement bien les différents questionnements que l’utilisation du mouvement a pu soulever dans la pratique géométrique. Pour illustrer cela — et ce n’est pas un paradoxe — nous allons utiliser la géométrie dynamique, sa manipulation directe, l’action sur les figures et donc le mouvement...